Traitement numérique du signal et méthodes numériques

L'unité d'enseignement Traitement numérique du signal et méthodes numériques (4AN01) s'effectue au premier semestre du M1 et compte pour 6 ECTS. Elle comprend 28h de cours, 22h de Travaux Dirigés et 15h de Travaux Pratiques.

Objectifs

Cette UE aborde deux aspects fondamentaux nécessaires à l’analyse et la compréhension de méthodes numériques, appliquées d’une part aux signaux et systèmes, et d’autre part à la résolution des équations aux dérivées partielles. Dans un premier temps, l’objectif est de former les étudiants à la théorie et à la pratique des méthodes d’analyses des signaux et systèmes numériques, ainsi qu’à la synthèse de ces derniers. Puis dans un second temps, les connaissances nécessaires pour le traitement numérique des équations aux dérivées partielles des sciences de l’ingénieur sont abordées. Seront en particulier introduites les principales méthodes numériques permettant de résoudre ces équations.

La totalité de ces concepts et outils est indispensable pour appréhender correctement les problématiques liées à l’ingénierie, à la fois mécanique et électronique. C’est la raison pour laquelle ces notions serviront de socle commun à l’ensemble des disciplines du Master SdI.

Contenu

Pour le traitement numérique du signal

• Rappels sur le temps continu : étude des signaux à temps continu (approche temporelle, approche fréquentielle par série et transformée de Fourier), étude des systèmes à temps continu (propriétés, relations entrée/sortie, réponses standards, description temporelle par équation différentielle et convolution, description fréquentielle par réponse en fréquence et fonction de transfert)
• Signaux à temps discret : échantillonnage, théorème de Shannon, conversion Analogique-Numérique et Numérique-Analogique, description et analyse des signaux à temps discret (signaux classiques, transformée de Fourier des signaux discrets, transformée de Fourier discrète)
• Systèmes à temps discret : représentations temporelles (réponses standards, systèmes RIF et RII, équation de récurrence, convolution discrète), représentations fréquentielles (transformée en Z, réponse en fréquence, fonction de transfert), stabilité des systèmes discrets, application à la synthèse de filtres numériques

Résolution numérique des équations aux dérivées partielles

• Rappels sur les équations aux dérivées partielles : classification (équations elliptiques, paraboliques, hyperboliques), conditions aux limites et problèmes bien posés
• Introduction sur des équations modèles de différentes méthodes numériques de résolution des EDP : méthodes des différences finies (discrétisation, maillage, conditions aux limites, schémas explicites et implicites, consistance et notions de stabilité), méthode des éléments finis (espaces fonctionnels, formulations forte et faible, théorème de Lax-Milgram, exemples d'éléments finis, résultats de convergence)

Pré-requis

Mathématiques de licence, notions de programmation élémentaires (Matlab, octave, et/ou python)

Modalités de contrôle des Connaissances

Examens répartis et  TP